7. Teaching geometry 7th grade

И.Бекбоев

ГЕОМЕТРИЯНЫ 7-КЛАССТА ОКУТУУ

киришуу

2000—2001-окуу жылынан баштап республикабыздын мек-тептеринде И. Б. Бекбоев, А. А. Бөрүбаев, А. А. Айылчиевдердин «Геометрия 7-9» жана «Геометрия 10-11» окуу китептери колдонулуп жатат. Ал окуу китептери мектептин геометрия курсунун такталган жаңы программасына ылайык түзүлгөн кыргыз тилиндеги биринчи оригиналдуу окуу куралдары болуп эсептелет.

Бул окуу китептериндеги материалдардын баяндалыш удаалаштыгы мурда жарыяланган геометрия окуу китептеринен белгилүү даражада айырмаланат. Мисалы, бул китептерде ар бир параграфтагы материалды бышыктоочу маселелер сунуш кылынган. Бул болсо окуучулардын материалды өздөштүрүүгө карата жасалган аракеттеринин сезимталдуулугун жана ошондой эле алардын жоопкерчилигин бир кыйла арттырат.

Мугалимге жардам катарында геометрия курсу боюнча «Жаңы окуу китептериндеги өзгөчөлүктөр» жана «Геометрия окуу китептеринин илимий-методикалык негиздери» бул методикалык колдонмодо атайын параграфтар менен баяндалып берилди. Бул окуу китептеринин авторлору ар бир теманы жөнөкөй, кыргыздын нукура тили менен баяндоого аракет кылышкан. Жогоруда эскертилгендей ар бир параграфтын материалы тиешелүү геометриялык маселелер менен коштолгон. Алар окуучулардын теманы өздөштүрүүсүн бир кыйла жеңилдетет. Ошондой эле, окуу китептериндеги материалдардын структуралык түзүлүшү да буга чейин орусчадан которулуп пайдаланылып келген геометрия окуу китептерине караганда бнр кыйла өзгөртүлүп түзүлгөн.

Ошондуктан сунуш кылынып жаткан бул методикалык колдонмодо геометрия окуу китептеринин ар бир главасына же параграфына карата жалпы маалымат берилип, анын өзгөчөлүктөрү белгиленген, мунун өзү мугалим үчүн кыйла пайдалуу болоору шексиз. Ушул эле максатта ар бир параграфка карата мугалимдер үчүн түшүндүрмө жана теманы окутууга карата методикалык сунуштар берилди. Мындан тышкары колдонмодо окуу материалдарын болжолдуу пландаштыруу кандаича болоору жана ар бир параграфтагы маселелерди чыгаруунун ыкмалары көрсөтүлдү. Тема боюнча окуучулардын өз алдынча ииперин уюштуруп өткөрүүгө пайдаланылуучу текшерүү иштеринин варианттары берилди. Албетте, мындаи максаттарда сунуш кылынган материалдар мугалимдерге кыйла жардам болоору түшүнүктүү.

I. ГЕОМЕТРИЯ КУРСУНУН ИЛИМИЙ НЕГИЗДЕРИ

Геометриянын жаңы окуу китептери кандай концепцияда түзүлгөн? Же мында орус тилиндеги геометрия окуу китептери эле кыргыз тилине которулуп коюлганбы? Бул китептер математиканын илимий түзүлгөн принциптерине жооп береби?

деген сыяктуу суроолор мугалимдерди кызыктырбай койбойт.

Албетте, геометрия боюнча жаңы окуу китептерин жазуудагы негизги максат: геометриянын буга чейинки белгилүү фактыларына таянып, аларды кеңири колдонуу менен мектептин окуучуларына жеткиликтүү болгон окуу куралын түзүү болду.

Ошону менен катар ал китептер республиканын мектептеринде математикалык билим берүү стандартынын жана орто мектептеги математика курсунун жаңы программасынын талабына жооп бериши керек эле.

Ушул талаптар эске алынып, аталган геометрия окуу китептерин жазууда математикада көптөн бери кеңири колдонулуп келген аксиоматикалык метод тандалып алынды.

Бул методду тандап алуунун себебин төмөндөгүдөй негиздөөгө болот.

Геометриянын систематикалык курсун 7-класстан окуй баштаганга чейин эле окуучулар башталгыч класстарда жана 5- 6-класстарда геометриянын айрым элементтери менен тааныш болуп калышкан. Чекит, түз сызык жана тегиздик жөнүндө алардын элестери бар. Айрым геометриялык фигураларды алар жакшы билишет. Демек, аксиомалык методдун негизинде баяндалуучу материалды түшүнүп билүүгө керектүү фундамент аларда түзүлгөн десек болот. Анткени окуучулар негизги түшүнүктөрдү, алардын байланыштарын өздөштүрүп калышкан. Мунун өзү мектептин геометрия курсун аксиомалык метод менен түзүүгө түрткү болгондугун ырастайт.

Ошондуктан геометриянын жаңы окуу китептеринин авторлору мектептин геометрия курсу 7-класстан баштап эле аксиомалык методго негизделиши керек деп эсептешет.

Бул айтылгандарды бекемдөө максатында жалпы эле математиканын, анын ичинде геометриянын тарыхына кыскача көз чаптырып көрөлү. Математиканын тарыхынан белгилүү болгондой, анын өсүшун төрт этапка бөлүп көрсөтүүгө болот.

I. Математиканын алгачкы пайда болуу мезгили. Бул эң байыркы убакыттан башталып, биздин эрага чейинки VII- Vкылымдарга чейин созулду.

II.Турактуу чоңдуктардын математикасы (элементардык математика), биздин эрага чейинки VII кылымдан башталып, биздин эранын XVII кылымын камтыйт.

III. Өзгөрүлмө чоңдуктардын математикасы. XVII- XIXкылымдарды ичине алат.

IV. Математиканын өсүшүнүн азыркы мезгили. Бул мезгилдерди геометриялык көз карашта мүнөздөсөк, кыскача төмөндөгүлөрдү айтууга болот, «фигура», «чоңдук» жана «сан» түшүнүктөрү эзелтеден эле пайда болгон. Алар сыяктуу эле квадрат, тик бурчтук, үч бурчтук, параллелограмм, шар ж.б. жөнүндөгү түшүнүктөр да ошондо эле белгилүү болгон.

Байыркы окумуштуулар Фалестин, Пифагордун жана башкалардын геометрия боюнча ачуулары биринчи эки этапта белгилүү болуп, геометриялык логикалык далилдөөлөр ошондо эле колдонула баштаган.

3-мезгилде өзгөрмөлүү чоңдуктар түшүнүгү пайда болуп, функция жөнүндө жаппы түшүнүк аныкталды, мында Р. Декарттын ролу кыйла чоң болуп эсептелет.

4-мезгил Н. И. Лобачевскийдин Евклиддик эмес геометриясынын пайда болушу менен мүнөздөлөт.

Геометриянын негизделишинде экинчи этап маанилүү ролду ойноду.

Анткени, ошол мезгилде геометрияны түзүүнүн аксиомалык методу пайда болду. Ал байыркы грек окумуштуусу Евклиддин «Башталмалар» жыйнагына байланыштуу. Ушул жыйнакта геометрияны түзүүнүн логикалык приициптери иштелип чыкты жана колдонулду. Бул геометрия боюнча биринчи китеп, ал биздин эрага чейинки 3-кылымда түзүлгөн. Бул эмгекте грек окумуштууларынын кылымдар бою геометрия боюнча ачкан илимий жаңылыктары, эмгектери жыйынтыкталган жана системалаштырылган. Ал китепте адегенде далилдөөнү талап кылбай турган түшүнүктөр жана аксиомалар кабыл алынып, калган сүйлөмдөр алар аркылуу далилденген.

Чындыгында эле, кандайдыр бир Т1 теоремасын далилдөө Т2 теоремасы аркылуу ишке ашырылат. Ал эми Т2 теоремасы Т3 теоремасы аркыпуу далилденет ж.б. Бирок, бул удаалаштык чексиз улантылышы мүмкүн эмес. Ал эми аныктамалар жөнүндө да ушунун өзүн айтууга болот. Демек, кандайдыр бир түшүнүктөрдү жана сүйлөмдөрдү эң алгачкы, түпкү деп далилдөөсүз кабыл алууга туура келет, ал эми калган бардык сүйлөмдөр (теоремалар, натыйжалар) дал ошол алгачкылар аркылуу гана далилдениши керек. Геометриянын мындай принциптердин негизинде баяндалыш методу дедуктивдик же аксиоматикалык метод деп аталат.

Демек, геометриянын системалык курсунун логикалык баяндалышы төмөндөгүдөй илимий принциптерге негизделген:

1. Геомериялык негизги (баштапкы) түшүнүктөр берилет.

2. Алардын жардамы менен калган баардык геометриялык түшүнүктөр аныкталат.

3. Аксиомалар баяндалат.

4. Теоремалар далилденет .

Геометриянын азыркы, жаңы окуу китептери жогоруда айтылган төрт принципке негизделип түзүлдү. Атап айтканда мында негизги түшүнүктөр катарында чекит, түз сызык жана тегиздик кабыл алынган.

Алардын арасындагы негизги байланыштар «жатат», «арасында жатат» деген терминдер колдонулган.

Планиметрия курсунун аксиомалары беш группага бөлүнүп, 12 аксио-мадан турат:

1. Тиешелүүлүк аксиомалары (2 аксиома).

2. Иреттүүлүк аксилмалары (3 аксиома).

3. Өлчөөнүн аксиомалары (4 аксиома).

4. Өлчөп коюунун аксиомалары (2 аксиома).

5). Параллелдиктин аксиомасы (1 аксиома).

Ошондой эле, стереометрия курсунда бул аксиомалар менен бирге дагы кошумча төрт аксиома кабыл алынган.

Ар бир геометрия курсунда жаңы түшүнүктөргө негизги түшүнүктөрдүн жардамы менен аныктамалар берилип, планиметрияда 70ке жакын, стереометрия курсунда 45 ке жакын теоремалар далилденген. Албетте, теоремаларды далилдөөдө аныктамалар жана аксиомалар колдонулган.

Өзгөчө мугалимдер эске ала турган жалпы жобо төмөндөгү болуп эсептелет. Мында негизги түшүнүктөр эркинче алынып, аксиомалар каалагандай түзүлө бербейт. Алар бир катар логикалык талаптарды канааттандырышы керек. Атап айтканда аксиомалардын системасы:

1. Карама-каршы эмес, б.а. аксиомалардан келип чыгуучу натыйжалардын ичинде бири-бирине карама-каршы келе турган эки натыйжа болбошу керек.

2.Көз каранды эместик талабына баш ийиш керек, б.а. алынган аксиомалардын саны эң аз болушу зарыл.

3. Толуктук талабы. Алынган аксиомалардын системасында кошумча аксомалар талап кылынбоого тийиш. Бул талаптардын аткарылышын негиздөө өзүнчө чоң суроо болуп эсептелет. Биз мында ага токтолгонубуз жок, алар тиешелүү адабияттарда баяндалган.

Ошентип, геометриянын логикалык түзүлүшү негизги түшүнүктөрдү тандап алууга жана аксиомалардын системасына байланыштуу бопот.

Мисалы, «аралык» деген түшүнүктү кошумчалап алып, А. Н. Колмогоров мектептин геометрия курсуна кандай өзгөртүү жасагандыгы жаппыга белгилүү. Ал эми негизги түшүнүктөр катары «векторду» жана «чекитти» кабыл алып Г. Вейл мектептин геометриясын кандай өзгөрткөнүн өзүңөр жакшы билесиңер. Ошондой эле, Евклиддин параллелдик аксиомасын өзгөртүү аркылуу Н. И. Лобачевский жаңы геометрияны ачкандыгы да жалпыга белгипүү.

Геометриянын негизделишинин ар кандай логикалык жолдору бар экендигине карабастан, орто мектепте геометриянын окутулушу Евклиддин геометриясына негизделип келе жатат

II. ГЕОМЕТРИЯНЫН ЖАҢЫ ОКУУ КИТЕПТЕРИНДЕГИ

ӨЗГӨЧӨЛҮКТӨРҮ

2000-2001 окуу жылынан баштап республиканын орто мектепте-ринде 7-9-класстардын окуучулары үчүн өзүнчө, ал эми 10-11-класстардын окуучулары үчүн өзүнчө жаңы геометрия окуу китептери колдонула баштады. Профессорлор И. Б. Бекбоев, А. А. Бөрүбаев, А. А. Айылчиевдердин бул китептери Кыргыз республикасынын билим берүү жана илим министрлиги тарабынан геометрия боюнча окуу китептери болуп бекитилген. Бул китептер жаңыдан эле колдонууга берилип жаткандыктан, андагы мазмундук жана методикалык өзгөчелүктөр жана айырмачылыктар мугалимдерди кызыктырбай койбойт. Төмөндө алардын айрымдарына токтолобуз.

1. Булар республикабыздын мектептеринин окуучулары үчүн геометрия боюнча кыргыз тилинде жазылган оригиналдуу биринчи окуу китептери болуп эсептелет. Буга чейин биздин мектептерде А.В. Погореловдун 7-11-класстар үчүн Геометрия окуу китебинин кыргызча котормосу колдонулуп келген. Азыркы жаңы окуу китептеринде геометриялык түшүнүктөрдүн, теоремалардын баяндалышынын, теоремаларды далилдөөнүн ыкмаларынын нукура кыргыз тилинде берилиши маанилүү экендиги түшүнүктүү. Өзгөчө, авторлор тарабынан айрым темаларды түшүндүрүүдө биздин кыргыздарда кездешүүчү геометриялык фигураларды пайдаланышы маанилүү болуп эсептепет.

2. Буга чейин биздин мектептердин 7-11-класстары үчүн жазылган бир гана геометрия окуу ктебинин (А. В. Погорелов, Геометрия 7-11-класстар) котормосу пайдаланылып келген. Ал эми азыркы жаңы окуу китептери болсо эки бөлүктөн турат: 7-9-класстардын окуучулары үчүн (1-бөлүк, планиметрия), 10-11-классгардын окуучулары үчүн (2-бөлүк, стереометрия).

Орто мектептин геометрия курсунун мындай эки китеп болуп жазылышы республикада негизги жана толук орто мектепте математикалык билим берүүнүн мамлекеттик стандартына жана жалпы билим берүүчү орто мектептердин математика курсунун жаңы программасына негизделген.

Ошону менен бирге китептердин мындай экиге бөлүнүп жазылышы экономикапык жагынан да, пайдалануу жагынан да окуучулар үчүн да, мугалимдер үчүн да оңтойлуу болуп эсептелет.

3.Мурда 7-9-класстарда стереомемриялык материалдар окулчу эмес.

Азыркы, жаңы окуу китепте болсо математикалык билим берүүнүн мамлекеттик стандартынын жана жалпы билим берүүчү орто мектептердин математикалык программсынын талабына ылайык 9-класста стереометриянын элементтери баяндалган. Мында айлануу телолору, көп грандыктар жөнүндө түшүнүк берилип, мейкиндикте алардын беттерин жана көлөмдөрүн аныктоого кыскача маалыматтар берилген. Бул негизги мектепти бүтүрүүчүлөр үчүн маанилүү болуп эсептелет, анткени алардын ар биринде геометриянын толук курсу боюнча аныкталган, бүтүмдүк түшүнүктөрдүн болушу зарыл.

4.Жаңы геометрия окуу китептериндеги дагы бир өзгөчөлүк жана айырмачылык төмөндөгүдөй. Буга чейин колдонуп келген жана колдонулуп жаткан геометрия окуу ктептериндеги материалдардын айрым традициялык удаалаштыктары өзгөртүлгөн. Бул окуучулардын материалдарды өздөштүрүүсүн жеңилдетет жана айрым материалдарды баяндоого оңтойлуу мүмкүнчүлүк түзөт. Мисалы, мурда 9-класста окулуучу «көп бурчтуктар» темасын 8-класста окуу, геометриялык өзгөртүүлөр, фигуралардын окшоштугу жөнүндөгү темаларды 8-класстан 9-класска жыл-дырып баяндоо ж.б.

Ошондой эле, стереометрия курсундагы мейкиндиктик телолордун беттеринеринин аянттары менен көлөмдөрүн баяндоо удаалаштыгы да өзгөр-түлгөн.

5. Айрым геометриялык материалдардын окуу китептериндеги методикалык жактан традициялуу баяндалышы кайра каралып чыккан. Бул көбүнчө стереометриялык материалды баяндоого тиешелүү. Атап айтканда, көп грандыктар менен алардын беттеринин аянттары, айлануу телолору менен алардын беттеринин аянттары бир удаалаштыкта баяндалып берилген.Ошондой эле, телолордун көлөмдөрүн эсептөөдө көп грандыктар менен айлануу телолору (мисалы, призма менен цилиндр, пирамида менен конус ) бирдикте, айкалыштырылып каралган.

6. Мурда колдонулуп келген геометрия окуу китептеринен айырмаланып, жаңы окуу китептеринде ар бир темадан кийин ал темага карата бышытоочу маселелер сунуш кылынган. Ал маселелер окуучулардын теманы терең өздөштүрүүсүн камсыз кылат жана мугалимдер үчүн да өтө оңтойлуу.

Ошону менен бирге, ар бир главанын акырында аны кайталоого жана терең өздөштүрүүгө карата суроолор жана маселелер берилген. Алар модулдук тесттерди түзүүгө жана зарыл болгон маселелерди тандап алууга мүмкүнчүлүк түзөт.

7. Окуу кигептери бардык профилдеги класстарда колдонууга ылайыктуу болуп жазылган. Башкача айтканда аларды профили математикага байланыштуу класстарда да, жана гуманитардык профилдеги класстарда да колдонууга болот. Математикалык класстарга тиешелүү материалдар кошумча темалар катарында, тереңдетилген жана татаалыраак маселелер түрүндө сунуш кылынган. Аларды мугалим өзү тандап пайдалана алат.

8. Геометрия окуу китептеринин ар биринин аягында тиркемелер берилген. Ал тиркемелерде кружоктор үчүн, класстан тышкары окуу учүн материалдар баяндалган. Алардын айрымдарын математикалык класстар үчүн да колдонууга болот.

7-класста геометриянын системалуу курсун окуй баштоонун алдында анын пропедевтикалык курсун кайталоо, атап айтканда өткөн класстарда каралган фигураларды, аларды сүрөттөөнү, касиеттерин, айрым түзүүлөрдү, маселелерди эске салуу сабактарын өткөрүү керек. Ан үчүн кабинетте топтолгон материалдар (сүрөттөр, көрсөтмө куралдардан чийип же кесилип алынган) пайдаланылат.

Мында негизги ыкма катары, өтүлгөн түшүнүктөрдүн тизмесин, алардын сүрөттөрүн жана тиешелүү касиеттерин көрсөтүп берүү; буклет даярдоо: эң жөнөкөй (1 ,2 жол менен иштеле турган) маселелердин сүрөттөрүн чийүү;

тесттик суроолорду ж.б. сунуш кылууга болот. Мындай иштер мүмкүн болушунча класстагы ар бир окуучу аткара турган деңгээлде өткөрүлөт.

Мисалы: буклет түзүү; ар бир окуучунун чыгармачылыгына багытталып берилиши мүмкүн; фигураларды ар түрдүү материалдардан (картон, түстүү кагаздардан, ж.б. берилген бирдей форматта даярдоо) кесип алып (ар бир сабакта пайдалануу үчүн) колдонууга оңтойлуу болгондой кылып, конвертке салып алып жүрүү ыкмасын айтсак болот.

5-6-класстардагы өтүлгөн фигуралардын ичинен чекит, түз сызык, тегиздик жөнүндө өзгөчө баяндама берилүүгө тийиш. Башкача айтканда сызык жана алардын байланышы деген сыяктуу ойду атайын белгилеп айтуу зарыл.

Мисалы, тегиздик кандайдыр бир бет, эгер аны досканын, дептердин барагы же столдун бети десек ага каалагандай жазууларды, сүрөттөрдү ж.б. жазууга, чийүүгө болот. Ал эми чекит, түз сызык, тегиздиктердин алдында дагы башка жогорудагыдай баяндама бере тургандай жок экендигин окуучуларга билдирүү зарыл. Мисалы кесинди десек, анда ал жаткан түз сызыкты эки жагына чексиз улантууга болот. Демек, кесинди түшүнүгүн берүүнүн алдында түз сызык түшүнүгү бар экендиги эскертилет. Ушул сыяктуу ой жүгүртүү аңгеме түрүндө 7-класстын биринчи сабактарында каралып, ошонун натыйжасында геометриянын системалуу курсу башталууга тийиш.

Системалуу курсту баштоого даярдык катары кайталоого эки саатты сунуш кылууга болот. Биринчи параграф алгачкы, негизги түшүнүк жөнүндө баяндама берүүдөн башталат. Ал эми котормо китептердин башталышы болсо, геометрия илими, фигура деген эмне сыяктуу түшүнүктөрдөн турары белгилүү.

5-6-класстардын математикасында геометриялык түшүнүктөр, алардын айрым касиеттери каралган. Демек, фигура аларга карата берилген түшүнүктөр жана маселелер аркылуу геометриянын мааниси ачылган.

Ошондуктан 7-класстын биринчи темасында окуучуларга ушуга чейинки белгилүү болгон фигуралардын алгачкыларын негиздөө жеңил жана жеткиликтүү берилгенин көрөбүз. Алар: чекит, түз сызык, тегиздик негизги же баштапкы деген ат менен айтылат. Мында окуучулардын көңүлүн ар бир түшүнүктүн эң башталышы, түпкү негизи болуусу керек деген ойго багыттоо өтө маанилүү. Мисалы, адамдын жаратылышы качан, кантип деген суроолор менен коюлган гипотеза: кайсы бир жаңы сорттогу өсүмдүктү чыгаруу үчүн анын башталышы болуш керек, ж.б. окуучуларга жеткиликтүү ойду жарата тургандай мисалдарды келтирсе болот. 7- класстын геометриясынын бир кыйла өзгөчөлүктөрү бар. Ошондуктан окуу китебинде алгачкы түшүнүктөр кеңири баяндалган. Андан ары, алгачкы түшүнүктөрдү байланыштыруу керекпи? деген суроого жооп издөөдөн эң биринчи далилденбей турган, чынында эле айкын-ачык көрүнүп турган ой сүйлөмдөрдүн пайда болушу кеңири берилген. Алар аксиомалар.

Геометриялык фигура көптүктүн бир гана элементи болушу керек деген менен чекит да геометриялык фигура болоору эң сонун көрсөтүлгөн. Ушу сыяктуу, жөнөкөй түшүнүктү татаалдаштырбаган ойлорго окуу китебинде кеңири орун берилген.

7 - К Л АСС

I глава. ГЕОМЕТРИЯЛЫК АЛГАЧКЫ ТҮШҮНҮКТӨР

(18 саат)

5-6-класстарда өтулгөн материалды кайталоо

(1 саат)

§ 1. Чекит, түз сызык, тегиздик (5 саат)

Ар бир параграфтын материалы үч пунктка жайгаштырылды. Алардын биринчисинде (А пункту) — окуу материалынын болжолдуу пландаштырылышы, экинчисинде (В пункту) — мугалимдер үчүн түшүндүрмө жана теманы окутууга карата методикалык сунуштар, үчүнчүсүндө (С пункту) — маселелерди чыгарууга көрсөтмөлөр баяндалып берилди.

А. Чекит, түз сызык, тегиздик жөнүндө түшүнүк берүү окуучулардын ушуга чейинки билгендерине таянып жүргүзүлөт. Чекит менен түз сызыктын сүрөттөлүшү окуучуларга 5—6-класстардан эле тааныш.

Ошондуктан алар эң алгачкы түшүнүк экендиги окуу китебинде толук, ишенимдүү берилген.

Буга чейин колдонуп келген орусчадан которулган окуу китептерине караганда жаңы китепте чекитти, түз сызыкты, тегиздикти элестетүүгө карата айлана-чөйрөдөн алган мисалдар арбын. Алгачкы түшүнүккө «көптүк» киргизилишин эске алуу керек.

Чекит түшүнүгү жана түз сызыктардын өз ара жайгашуусун тегиздикте кароого карата жөнөкөй көнүгүүлөр берилген. 23- жана 25-маселелер үй тапшырмага берилет. Аны иштөөдө окуу китебиндеги 21-сүрөткө толук анализ жүргүзүү, б.а. дептерге чийменин сезимталдык менен чийилиши эскертилет. 22-маселенин уландысы менен иш жүргүзүүдө окуучулар материалды көңүл коюп окууга үйрөнүшөт. Класста: § 1.3 төн 11-, 12-, 13-, 16-, 17-, 20-, 21-, 22-, 24-, 25-маселелер иштелип, үйгө 14-, 15-, 18-, 19-көнүгүүлөрдү сунуш этсе болот. Ошону менен катар 1-параграфтын материалы жыйынтыкталат да II1, II2, III3 аксиомалар», «арасында жатат», «жарым түз сызык—шоола», «жарым тегиздик» жөнүндөгү түшүнүктөр такталат. Айрым учурда китептеги сүрөттөрдү көрсөтүү менен 21-сүрөт боюнча окуучу аткарган же атайын плакатка чийилген сүрөттү пайдаланып, ар бир суроону тактоого болот.

Параграфтын аягында кайталоого берилген 1 - 12-суроолор боюнча бышыктоо өткөрүлөт.

Окуучуларды китеп менен иштөөгө үйрөтүү өзгөчө мааниге ээ, анткени баланын китеп менен өмүр бою иштей алышы өз алдынча окуп билим алуусуна эң керектүү каражат болуп саналат.

Окуучунун үйгө берилген маселени чыгарып келгени жакшы, бирок жетишсиз, эң негизгиси анын теориялык материалды сезимталдык менен окуп түшүнүп келишине жетишүү зарыл. Анын бирден бир түз жолу болуп класста коюлган суроолорго окуучунун даана, далилдүү, туура жооп берүүсүн баалоо, мактоо ж.б. эсептелет. Теориялык материалды китептен бүтүндөй баштан-аяк окуп келүүнү талап кылуунун анча за-рылдыгы жок. Мында эң негизгиси — китеп окуганда эмнеге өзгөчө көңүл буруу зарыл экендигин окуучуларга китептен белгилеп берүү.

Мисалы: § 1.3 төн 11-беттеги биринчи абзацка чейин окугула. Мында «I1 аксиоманы түшүнүп эстеп калгыла, 2, 3, 4 абзацтарды көңүл коюп окугула. Эмне жөнүндө жазылганын эсиңерге сактагыла» -дегендей көрсөтмөлөр менен тапшырма берүүгө болот. Бул сыяктуу берилген тапшырма окуучуну китеп менен иштөөгө үйрөтөт жана анын китептеги тексттин негизгисин ажырата билүү жөндөмүн калыптандырат.

Жарым тегиздик жөнүндө түшүнүктү негиздөөнүн алдында үйгө берилген тапшырма (өткөндөрдү § 1.1, 1.2, 1.3) боюнча мугалим өзү даярдап келген эки плакат менен иштөөгө эки окуучуну доскага чыгарды дейли. Өзгөчө басым менен айтып досканы вертикалдык сызык менен экиге бөлдүк. Сызык жоон көзгө урунарлык болуп жүргүзүлдү.

Эми окуучуларга — «доска кандай бөлүндү?» -деген суроо коюлат. Бул суроого берилүүчү жооп «жарым эки тегиздикке» деген болуш керек.

Эгерде жооп мындай болбой калса, анда мугалим жетектөөчү суроолорду коюп окуучулардан дал ушундай жоопту алууга жетишүүгө тийиш. Демек, досканы тегиздик десек, анда аны каалагандай түз сызык менен жарым эки тегиздикке бөлүүгө болот экен» -деп айтылгандан кийин, китептеги материалды пайдалануу менен сабак улантылат. 19-сүрөт боюнча талкуулоону жүргүзүү зарыл. 22-маселени жалпы окуучулар менен талкуулоо керек. Эмне үчүн АВ кесиндиси а түз сызыгы менен кесилишпейт, ал эми АС кесиндиси а түз сызыгы менен кесилишет? Жоопту — кесинди деген эмне дегенден издөө керектиги айтылат.

В. Жогоруда айтылгандай «алгачкы», сызыктын жана тегиздиктин сүрөттөлүшүн, белгиленишин эске салуу менен катар аларды окуу китебиндеги эң ыңгайлуу сүрөттөрдү доскага чийип, көрсөтүп окуучуларга өз түшүнүктөрүн дептерлерине сүрөттөп жазганды сунуш кылган жакшы. Досканын бети тегиздик, бирок конкреттүү сүрөттү чийиш үчүн анын кандайдыр бөлүгүн гана чектеп алып калган бөлүгүнө башка жазууларды жайгаштырууга туура келет. Ошентип, анын чектелип алган бөлүгү а, жана башка тамгалар менен белгиленип алынат да каралып жаткан сүрөт ошол тегиздикте көрсөтүлгөндүгүн эскертүү туура болот. Китептеги 1-сүрөттү карайлы. Андагы А, В, С чекиттерин эки-экиден туташтырсак эле түз сызыктар пайда болот. Ал эми ошол чекиттердин ар бири аркылуу чексиз көп түз сызыктарды жүргүзүүгө болоорун да айта кетүү ашык эмес. 3-сүрөттө тегиздикти образдуу элестетүү менен эң жөнөкөй чекитти да, түз сызыкты да сүрөттөөгө болот.

Негизги түшүнүктөр калыптандырылды дейли. Эми аларды байланыштырууга керектүү болгон сөздөрдү берүү керек. Алар кайсы сөздөр? Чекит менен түз сызыкты байланыштыруучу сөздөр үчүн:

«жатат», «арасында жатат» деген сөздөр ылайыктуу болоорун атайын эскертип айтууга туура келет. Ошентип, геометрияда биринчи аксиомаларды, чындыгы далилдөөсүз эле көрүнүп турган төмөнкү сүйлөмдөрдү белгилейли:

11. «Каалагандай түз сызыкка карата ал түз сызыкта жатуучу чекиттер жана анда жатпаган чекиттер бар».

12. «Каалагандай эки чекит аркылуу бир гана түз сызык өтөт» - деген тиешелүүлүктүн аксиомалары айтылат.

Окуучуларга «тегиздикте эки түз сызык кандай жайланышы мүмкүн? -деген суроону берип, алардын жоопторун жыйынтыктоого болот. Алар кесилишет же кесилишпейт.

Кесинди менен шоола жөнүндөгү ушуга чейинки маалыматтарды түшүндүрүп, алардын сүрөттөрүн сызып көрсөткөндөн кийин, китептеги 10-сүрөткө көңүл буруп, А, В, С чекиттеринин бири-бирине карата жайланышын тактоодон экинчи группадагы аксиомалардын биринчисин — II 1 ди айтууга болот. Алар иреттүүлүк аксиомалары деп айтылат.

Ар бир аксиоманын маанисин түшүндүрүүдө да окуучуларга 5-6-класстардын математикасынан белгилүү болгон фигураларды пайдаланган жакшы.

II 2 аксиоманы жеткиликтүү баяндоо үчүн алды менен 12-сүрөттү доскага чийгенде b түз сызыгындагы О,А,С чекиттерин белгилеп алып китептегидей түшүндүргөндөн кийин, В жана D чекиттерин көрсөтүү оңтойлуу. Себеби, О чекитине карата шоолаларды атап окутуу зарыл.

Мисалы, ОА же ОВ бир эле шооланы; ОС же ОD так ошондой болоорун айтууга болот.

Темадагы толуктоочу шоолалар жөнүндө айтканда а жана b түз сызыктарынын О кесилиш чекитинде канча шоола пайда болду; бирин-бири толуктоочу шоолаларды белгилеп жазгыла; эгер А а, С b болсо, анда

ОА жана ОС шоолалары бирин-бири толуктайбы -деген суроолор аркылуу бышыктоолорду жүргүзүүгө болот.

С. Темага берилген маселелер эң жөнөкөй, ошондуктан аларга токтолуунун зарылчылыгы жок.

§ 2. Геометриялык фигуралар (3 саат)

А. Геометриялык фигура, фигуралардын барабардыгы, айлана, теорема жөнүндөгү түшүнүктөрдү ушул параграфта берүү окуу китебинин өзгөчөлүктөрүнүн бири экендиги көрүнүп турат.

16-беттеги 1-11-маселелердин 3-сү тегиздикти, мейкиндикти элестетүүнү; 4-сү көптүктөрдүн биригүүсүн баяндай турган маселелер. 7-си айлана менен тегеректин айырмасын тактоого берилген (картондон кесилип алынган тегерек, анын айланта кесилген чеги — айлана.Ушуга окшоштуруп буюмдардан мисал келтирүү керек). №1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 оозеки, №10, 11 үйдө сүрөтүн чийүү менен аткарылат.

2.3-параграфтагы материалды бир сабакта өтүүнүн мүмкүнчүлүгү окуучулардын 5- жана 6-класстардан билгендерин эске салуу боюнча жыйынтык чыгаруу менен түшүндүрүлөт. Ошону менен катар эле китеп менен иштөөнү уланта турган болсок, анда мындагы өзгөчө көңүл бурула тургандар деп төмөнкүлөрдү көрсөтүүгө болот.

Темадагы кара тамга менен жазылгандарды түшүнүп жаттоо; томпок жана томпок эмес фигуралардын сүрөттөрүн сызуу, фигуралардын барабардыгы, алардын барабардыгын көрсөтүү, F = F1,F=F1_ жазуулардын маанисин айтып берүү.

(19-бет) «айлана — бул чекиттердин геометриялык орду». 16-маселелер класста иштелет. 14-маселеде F фигурасын А ны А1 менен, В ны В1 менен, С ны С1 менен дал келгендей кылып жылдыруу керек.

17-, 18-, 26-маселелер оозеки, 14-, 16-, 19-, 21-, 23-, 24-маселелер класста, 20-, 22-, 25-маселелер үйдө иштетилет. Кайталоого берилген 15-, 16-, 17-, 21-, 25-, 29-суроолор аркылуу бул параграф бышыкталат (түзөтүү: 15-беттеги акыркы абзацтагы DС эмес ВС деп окулат).

Бул темада теориялык материалды түшүндүрүүнүн аңгеме эвристикалык (суроо-жооп) методдорун колдонууга болот. Эгерде аңгемени окуучуларга ушуга чейин белгилүү болгон түшүнүктөр боюнча жыйынтык чыгаруунун каражаты десек, анда эвристика орчундуу жалпы суроого жөнөкөй суроо-жооптор аркылуу керектүү жоопту издеп табуу болуп эсептелет.

В. Баяндалган фигуралар жөнүндөгү түшүнүктү тагыраак өздөштүрүү үчүн китепте алынган үч бурчтук, тик бурчтук, томпок жана томпок эмес фигуралардын картондон кесилип алынган моделдерин колдонсо болот.

Алар тегиздиктин (картондун) ар кандай бөлүгү - чекиттердин чексиз көптүгү экендигин окуучуларга дааналайт. Бир эле элементи бар же бир эле чекиттен турган көптүк - фигура болоорун атайлап эскертүү зарыл.

Фигуралардын барабардыгын окутууда көрсөтмөлүүлүктү пайдаланып, мисалы картондон кесилип алынган АВСD жана А'В'С'D' фигуралары боюнча алардын барабардыгын көрсөтүп, 12-, 13-маселелерди иштетүү процессинде эле түшүндүрүүгө болот.

Айлана. Бул теманы өтүүгө бир саат сунуш кылууга болот.

Мындагы маалыматтардын бардыгы (радиус, диаметр, хорда, жаа ж.б.)

окуучуларга 6-класстан (Iглава, § 4) тааныш болгондуктан аларды кайталап, окуучулардын эске тутуу жөндөмдүүлүктөрүн өстүрүү максатында 27-сүрөттү плакатка түшүрүп алып (же доскада) пайдаланылуучу жетектөөчү суроолорду тактап алуу жетиштүү.

Теорема жөнүндө түшүнүк берүү өтө жооптуу. Геометрияны өздөштүрүүдөгү эң татаал деп эсептелген окуу материалы — бул далилдөө. «Теореманын тууралыгын (чындыгын) көрсөтүүчү талкуулоолордун (ой-жүгүртүүлөрдүн) тизмеги — бул далилдөө. Ушул түшүнүктөрдүн окуучулардын эсинде сөзсүз сакталып калуусуна жетишүү зарыл. Китепте теореманын структуралык түзүлүшү баяндалып, теорема 2 бөлүктөн: шарты жана корутундусунан тураары айтылат. 1-теореманын түшүндүрүүчү бөлүгү натуралдык сандардын көптүгүндө айтылып жатканы, анын шартын конкреттүү мисалда п орундуу санды 4кө бөлүп отурганга караганда эки орундуу санды оозеки бөлүү оңой болоору көрүнүп турат. 27-маселеде негизги касиет — аксиома; 1), 4) сүйлөмдөр аксиома, 2), 3) сүйлөмдөр теорема болуп эсептелет.

С. Параграфта берилген маселелердин айрымдарына гана токтололу.

28-маселе далилдөөгө берилген биринчи сүйлөм. Аны жетектөөчү төмөнкүдөй суроолор менен далилдөөгө болот.

Далилдөө. Диаметр деген эмне?

Айлананын борбору аркылуу өтүүчү хорда, ал айлананын эки чекитин туташтырат.

- Демек, диаметр жаткан түз сызык айлананы канча чекитте кесип өтөт?

- Эки чекитте.

29-маселе. II3 жана андан келип чыккан корутунду менен далилдене турган маселе болуп эсептелет.

§ 3. Кесиндилерди өлчөө (3 саат)

А. Кесиндилерди өлчөө, аларды берилген узундуктары боюнча салыштыруу сыяктуу түшүнүктөр 1-4- жана 5-6-класстарда (көнүгүүлөрдө) эле белгилүү деңгээлде каралып келген. Дегеле, башталгыч класстардын математикасында геометрия жөнүндөгү түшүнүк чекитти жана кесиндини баяндоодон башталат. Ал эми 5- жана б-класстарда кайсы бир фигураларды сызууда, ченөөдө, салыштырууда кесинди түшүнүгү колдонулары белгилүү. Ошол түшүнүктөрдү эске салуу, айрым көнүгүүлөрдү иштөө менен «Кесиндилерди өлчөө» деген темадан башталып өтүлөт. Мындагы негизги максат — бул темадагы орчундуу түшүнүк болгон үчүнчү группадагы эки аксиоманы (III1III2) калыптандыруу болуп эсептелет. Темада чекиттердин арасындагы аралык жөнүндө айтылат. Мында (модуль түшүнүгүн) кесиндинин узундугу оң сан менен гана туюнтула турганын бекемдөо зарыл.

Класста 1- жана 4-маселелерди оозеки, 2- жана 3-маселелерди жазуу жүзүндө иштетүү сунуш кылынат. Үйдө иштеп келүүгө 5- жана 6-маселелер сунушталат. Бирок 6-маселенин шартын түшүндүрүп берүү керек.

Класста 15-, 17-, 19-, 20-, 24(а,б)-, 25-маселелер, үйдөн 13-, 14-, 16-, 18-, 21-, 22-, 23-, 24(б,в)-маселелер иштелиши керек. 26-маселе татаалыраак, жогорку деңгээлде болгондуктан, аны чыгарууну бардык окуучулардан талап кылуунун зарылчылыгы жок. Кайталоого 3-, 18-, 23-суроолорду берүүгө болот.

В. Тема үч бөлүктөн турат. Ар бир бөлүктү өтүүгө бирден саат сунуш этүүгө болот. Кесиндилердин барабардыгы. Кесиндилерди өлчөө менен салыштыруу (узун, кыска, бирдей) төмөнкү класстардан белгилүү.

Мындагы эң негизги түшүнүктөр: кесиндини түз сызыкка же шоолага өлчөп коюу, кесиндилерди суммалоо, алардын айырмасын керсөтүү болуп эсептелет. 29-сүрөттө АВ=А'В' ти ченеп коюу (сызгычтын жардамы менен), кесиндилерди кошуу АВ=АС+СВ, кемитүү СВ=АВ-АС көрсөтүлгөн.

Кесиндинин узундугун өлчөөнү бардык окуучулар менен бирдикте лабораториялык иш катары аткарган жакшы (геометрияны окутуудагы талаптардын бири ар бир окуучуда сызгыч, циркуль, карандаш, өчүргүч (резина) болуусун камсыз кылуу болуп эсептелет). Окуучулар дептерлерине АВ кесиндисин китептегидей иштеп, АВ=п мм же см менен туюнтулган п санын алышат. Бирдик кесиндиге түшүнүк берүүнү сызгычтан пайдаланып түшүндүрсө болот.

С. 7-маселе көрсөтмөлүү, сүрөт менен иштелет.

8-маселе. Кесиндилер менен болгон амалдар көбөйтүү, кошуу, кемитүүгө берилген.

9-маселе. Берилген узундугу боюнча кесиндилерди өлчөп коюп, салыштырууга берилген.

10-, 11-маселелерди чыгаруунун жолун түшүндүрүп, үйдө иштөө сунуш кылынат.

15- (16)- маселелерде кесиндинин учтарын тактап алып: А дан оңду, В дан солду карай деп кошумча түшүндүрмө берүүгө тийиш.

Жогоруда айтылгандай кесиндилер менен аткарылуучу амалдар жөнүндө маалыматтар окуучуларга буга чейин эле тааныш. 33-сүрөт менен иштөөнү көнүгүү катары жүргүзүү оңтойлуу. Мында өзгөчө жалпы учур үчүн ОК=па деп жазуунун маанисин ачып түшүндүрүү болуп эсептелет.

Теманын китептеги берилиши окуучулар үчүн жөнөкөй жана түшүнүктүү экендигин белгилеп кетүү керек.

§ 4. Бурч. Бурчтун түрлөрү (6 саат)

А. Теманын өзгөчөлүгү: бурч жөнүндө толук маалымат берилип, ал сүрөттөр менен түшүндүрүлөт. Бурч жана анын түрлөрү 5-класста (§ 8, 186-бет) каралган. Аларды эске түшүрүп кайталоодо: сүрөтү боюнча бурчту атоону, бурчтун аталышына карата сүрөтүн сызууну (же плакаттан көрсөтүүнү) талап этүү керек. Ошонун эле негизинде бурч жөнүндөгү түшүнүк, жаңы тема боюнча тереңдетилет, бурч жөнүндө жаны маалыматтар (жанаша, жандаш, жайылган, вертикалдык бурчтар) пайда болот. Темада атайын көңүл бурууга керек болгон түшүнүктөр: бурчтун биссектрисасы; III3, III4, IV1, IV2 аксиомалар; вертикалдык бурчтардын барабардыгы жөнүндөгү 2-теорема (Зб-бет) болуп эсепителет.

Темага берилген маселелер, андагы торт подтеманын маанисин ачкан, жеңил иштеле турган көнүгүүлөрдөн турат.

Методикалык зарылчылыгы: теориясында да, маселе иштөөдө да бурчтарды белгилениши боюнча окутууда сүрөттү калем саптын же каранданштын учу менен көрсөтүп иштөөгө машыктырууну талап кылуу максаттуу болот.

Ушул сабактарда 9-, 10-, 11-, 12-, 17-, 18-, 20-, 22-маселелер оозеки иштетилет. Ал эми калган маселелердин айрымдары жазуу жүзүндө иштетилип, айрымдары (мисалы: 2-, 3-, 7-, 13-, 23-маселелер үй тапшырмага сунушталат), өз алдынча иштөөгө 6-, 8-, 14-, 15-, 16-, 21-маселелерди пайдаланууга болот. Кайталап окуп 19-, 20-, 25-, 26-, 27-, 28-, 29-суроолорго жооп даярдоо керек.

Көрсөтмө курал үчүн китептеги 38-, 41-, 46-, 47-сүрөттөрдү плакатка чийип алуу оңтойлуу. Мында 41-сүрөттө ар түрдүү түстөгү сызыктар, 46-, 47-сүрөттөрдө шоолалардын башка түс менен сызылганы максатка өтө ылайык келет.

Параграфтагы 4.1, 4.2, 4.3 пукттардын материалдарын өтүүгө үч саат сарпталат. Бул темадагы материалды 5-класста өтүлгөндөргө негиздеп түшүндүрүү керек экендиги жогоруда айтылды. Ошондуктан мугалим китептеги көнүгүүлөргө, жалпылоого атайын көңүл буруп иш жүргүзсө туура болот.

В. Бурчтун аныктамасы эң жөнөкөй тил менен берилгенин айта кетүү керек. Темадагы бурчтун жактары, бурчтун чокусу жөнүндө маалыматтар буга чейинки 5- жана 6-класстардан белгилүү болгондуктан, 38-, 39-сүрөттөр аркылуу жетектөөчү суроолор менен жанаша жаткан бурчту түшүндүрүүгө болот. Бышыктоо иретинде ар түрдүү вариациядагы сүрөттөрдү сызуу керек.

Жайылган бурчту алды менен жарым айланадан көрсөтүп, андан кийин 40-сүрөттү колдонуу оңтойлуу. Себеби, бурчтун өлчөмүн (4.4, 4.5) кароодо толук бурч, жана жайылган бурчка кошумча маалымат берилишин колдонсо болот.

41-сүрөт боюнча 4кө кайсы бурчтар жандаш деген суроону коюп, жообун

(сурөттү) үйдөн карап, жазып келүүлөрүн талап кылуу зарыл (жообу: b түз сызыгына карата 4-бурчка 2-бурч вертикалдык бурч болот ал эми а түз сызыгына карата 1-бурч 2-бурчка жандаш, бирок 1-бурч 3-бурчка вертикалдык бурч болот.

Китептеги барабардык түшүнүгү жөнүндөгү эң башкы өзгөчөлүк бул, анын фигуралардын барабардыгын беттештирүү жолу менен каралгандыгы болуп эсептелет. Ушул жол «көрүнүп тургандай» деген өзгөчөлүгү менен белгилүү.

Демек, ушул теманын негизгиси — бул бурчтун биссектрисасына берилген аныктама.

Ал эми тик бурч жөнүндө мурдагы класстан белгилүү болгондой АВ

ОС ны түзүп алгандан кийин, китептеги 47-сүрөт боюнча иштөө керек.

Мында ОЕ жана ОD шоолалары АB га перпендикулярдуу эмес, демек АОЕ, ЕОD, ВОD лар тик бурч эмес деп түшүндүрмө берүү ылайыктуу.

4.3. Бурчтун чени. Бурчту өлчөө

Бул материалды өтүүдө 5-класстагы § 8 (186-бет) тагы бурч жөнүндө өтүлгөндөр боюнча тест түзүп кайталоо зарыл. Мында темага тиешелүү суроолор камтылууга тийиш. Атап айтканда 5-класстын окуу китебиндеги 73-сүрөттү колдонуп 30°, 45°, 60°, 90°, 120° бурчтарды түзүү; сүрөтү боюнча бурчту өлчөөнү жүргүзүү керек.

Мында тик бурчтун бөлүгүн 1 градус деп атап, аны транспортир боюнча көрсөтүп коюу оңтойлуу. Бурчту транспортир аркылуу ченөөнү аткаргандан кийин, 50-сүрөт боюнча ченөөнүн ыкмасын китептегидей көрсөтүү жетиштүү. Алдыда айтылган тик бурч боюнча тар жана кең бурчтарды сызып көрсөтүү зарыл.

Бурчтарды өлчөөнүн негизги касиеттери — аксиомалар так, даана айтылып, аларды эске сактап калуу зарыл.

Берилген кесиндиге барабар болгон кесиндини, жана берилген бурчка барабар бурчту өлчөп коюу үчүн тиешелүү аксиомалар берилгенден кийин, өлчөө менен өлчөп коюунун айырмасын түшүндүрүү зарыл. Бул жөнүндө китепте так айтылган.

С. Айрым маселелердин чыгарылыштарына токтололу.

17-маселе. Жалпы класстын ар бир окуучусунун 52-сүрөттөгү бардык бурчтарды өлчөп отурушу оңтойсуз, ошондуктан аларды үч катарга бөлүп, катар боюнча: 1-катардагыларга АОВ бурчунун, 2-катардагыларга ЕDC бурчунун, 3-катардагыларга EКL бурчунун маанисин өлчөп жаздырып алгандан кийин, класстын жалпы окуучуларына РNМ бурчунун маанисин өлчөттүрүп жаздырткан оңтойлуу болот.

18-маселе. а) Транспортирдин жардамы менен 53-сүрөттөн АОС=90° түзүлдү. Ал эми жайылган бурч 180° болгондуктан, а) СОB=90°, АОС + СОБ=90°+90°=180° болот, III3 аксиоманын негизинде далилденет. б) ОС шооласы жаткан жарым тегиздик 53-сүрөттөгү АВ түз сызыгынын жогорку бөлүгү. AOD тар бурч болуш үчүн ОD шооласы ОС нын оң жагында, же АОD АОС болот. АОЕ кең бурч болуш керек. Демек, OE шооласы ОС нын сол жагында жайгашат. Ушул анализден кийин маселенин суроолоруна жооп берүүгө болот.

20-маселени жанаша жаткан жана жандаш бурчтардын айырмасын калыптандыруучу маселе десек болот. Ушул түшүнүктөр боюнча маалыматты эске салып, айрым маселелерди класста оозеки иштеп ошондой эле маселелерди үй тапшырмага берсе болот. Маселенин сүрөтүн транспортирдин жардамы менен сыздыруу зарыл, себеби изделүүчү ⦟АОС=70°, жандаш бурчтардын суммасы болорун көрсөтүү керек.

21-маселе 20-маселенин уландысы. Мындагы изделүүчү бурч жайылган бурчтан чоң. Класстагы окуучулардын бардыгы түшүнүп чыгаруулары зарыл.

22-маселени чыгарууда 29-беттеги жандаш бурчка берилген түшүнүктү колдонуу керек. Сүрөтүн сызып, пайда болгон бурч кандай бурч болоорун изилдеп коюу ашык эмес.

4.4. Бурчтар менен аткарылуучу амалдар

(2 саат)

А. Бурчтарды кошуу, берилген бурчту п санга көбөйтүү амалдарын аткаруу китепте эң жөнөкөй берилген.

Ошентип, болжол менен 26-, 29-, 30-, 32(1)-, 35-, 38-, 40-, 46-, 47(а)-, 49- , 50(а) — маселелерди класста иштетүүгө; 28-, 31-, 33-, 34-, 36-, 37-, 39-, 41-, 42-маселелерди үйдөн иштетүүнү; жана 43-, 45-маселелерди окуучуларды өз алдынча иштетүү үчүн пайдаланууга сунуш этебиз.

§ 4 боюнча окуучулар эмнелерди эске сактап калуусу керектигин аныктоо үчүн алар кайталоого берилген 13-, 14-, 19-, 20-, 22-, 24-суроолорго так ишенимдүү жооп бергендей болушу зарыл экендиги эске алынууга тийиш. Алардын дептерлеринин жогорку оң бурчунда ушул таблица көзгө урунтуктуу болуп жазылып турушу керек. Аны үй тапшырма катары жаздырса да болот.

1-главаны кайталоого карата берилген маселелер жана суроолор анча оор эмес. Алар ар түрдүү мааниде. Ошондуктан, мисалы: 5—11-маселелерди текшерүү ишине берсе болот.

АОВ бурчу жайылган бурч. АОВ жана ВОС - жандаш бурчтар.

АОВ = ВОС, ОВ – биссектриса.

АОВ = 900 тик бурч. 1 = 2 вертикалдык бурчтар.

1-сүрөт.

1-вариант: №6, 9, 11. 2-вариант: №7, 8, 10. 5-маселени эки вариантка тең кошумча сунушталуусу мүмкүн. Ал эми 1-, 2-, 3-, 4-маселелерди жакшы окуган окуучуларга үй тапшырмага берип, семинар катары кийинки сабакта чыгарылышын түшүндүрүп, баяндап берүүнү окуучулардан талап кылган жакшы. Мындай кыска мөөнөттүү семинарды өткөрүүгө 10-12 мүнөт жетиштүү.

В. Бул темадагы 2-теоремага көңүл буралы. Далилдөөнүн схемалык жолун карайлы. 56-сүрөт боюнча:

1-ден вертикалдык 1 – жана 2-бурчтар. 1=2 болоорун көрсөтөлү.

2-ден жайылган бурч, СОА, ал эми <1 + 3.

3-дөн III3 аксиома боюнча СОА=180°.

4-дөн а түз сызыгында 1+ 3 =180° мындан <1= 180

- 3… .

5-ден b түз сызыгында ВОD= 180

, же < 2 + <3 = 180

Мында 2 = 180

- 3 … .

6-дан (1) менен (2) лерди салыштырсак 1= 2. Теорема далилденди.

Схемалык түрдө далилдөө оңтойлуу. Анын ар бир бөлүгүндө суроо коюлуп, жоопту окуучулардан алууга жетишүү зарыл.

4.5. Борбордук бурчтар

(О; R) — бул О борбору жана R радиусу менен берилген айлана. Айлананы ушул түрдө белгилеп жазуу 7-класс үчүн жаңылык.

Мугалим үчүн жайылган бурч, жана толук бурч жөнүңдөгү түшүнүктөрдү айтканда аларды айланада көрсөтүү эң эле оңтойлуу.

Ошондуктан айланада ошол бурчтарды түстүү сыя менен көрсөтүлгөн плакатты пайдаланган жакшы. Темадагы 3-теоремага чейинки баяндоонун түшүндүрүлүшү теореманын далилден DОВ+ВОС=DОС DВ+ВС=DС барабардыктардын мааниси теоремада айтылып далилденtт. Далилдөө беттештирүү жолу менен жүргүзүлгөндүктөн, мында схемалык анализди колдонбосо да болот. Мугалим ушул жолдун ыкмасын гана иштеп чыгуусу керек. Ал үчүн кагазга чийилген 58-сүрөткө тунук (прозрачный, целлофан) материалга чийилген 58-сүрөттү беттештирүү керек.

С. 25 — 50-маселелер боюнча көрсөтмөлөр. Класста маселени чыгаруу көп убакыт албасын үчүн мугалимдин жетектөөчү суроолор аркылуу окуучуну тез иштетүүгө маселени чыгаруунун айрым учурларын аксиома, теорема, иатыйжага шилтеп коюуга үйрөтүү зарыл. Мисалы, 25-маселенин талабына көпчүлүк окуучулар дароо эле туура жооп берсе, түшүнбөй калгандары үчүн, же класстын көпчүлүгү жооп берүүдөн кыйналса мугалимде болгон даяр плакатты (40-сүрөт, 29-беттеги) колдонуу керек.

26-маселени тез иштетүүнүн жолун сунуш кылалы. 1-ден ОА шооласы доскада окуучу маселенин шартын окуп жатканда эле сызылды дейли. 2-ден 1-окуучу (шамдагай, анын ушул сапатын мактоо керек) транспортир менен 70° тук бурчту ченеп АОD ны, б.а. ОВ шооласын жүргүздү.

3-дөн жалпы класска — биссектриса деген эмне? Деген суроого жооп алынгандан кийин 31-беттеги анын аныктамасын карап эске салуу сунушталат. Демек, 4-дөн 70°:2=35°. АОС=35° кайрадан транспортир менен ченелип коюлат.

27-маселени мурдагы плакаттардан пайдаланып оозеки чыгарууга болот.

28-маселени чыгарууда 56-сүрөттү колдонуп жазып эсептөө керек.

29-маселе. Доскага О чекитинде кесилишкен АD жана ВС туз сызыктардан түзүлгөн вертикалдык бурчтарды чийүү керек. 1-сүрөт боюнча транспортирдин жардамы менен АОВ бур-чунун ОЕ жана СОD бурчунун ОF биссектрисасын жүргүзүп алып (алар дептерлерде башка түстөгү сызык болгону жакшы) АD жана ОЕ, ОF жана ВС түз сызыктары боюнча түзүлгөн вертикалдык бурчтарды салыштыруудан ОЕ жана ОF шоолалары ЕF түз сызыгы болорун көрүүгө болот.

30-маселе. Эсептеп далилдөөгө берилген. Далилдөө үчүн каалагандай үч жандаш бурчтарды алып, аларды үч катарга жазалы: 1-катарга 110°; 70°;

2-катарга 80°; 100°; 3-катарга 90°; 90°.

Ч ы г а р у у . Биринчи катардагы 1=110° бурчту анын биссектрисасы 55° жана 55° бурчтарга; 2=70°, бурчтун биссектрисасы аны 35° жана 35° бурчтарга бөлсө, анда 55°+35°=90°. Демек, 1 жана 2 бурчтардын биссектрисаларынын арасындагы бурч тик бурч болот. Үч катарда тең ушул сыяктуу эсептөөлөрдөн 90° бурч пайда болооруна ишенүүгө болот. Демек, эки учурдун экөөндө тең бирдей жооп (90°) пайда болду, б.а. маселе далилденди.

31-маселени иштөөгө а) суроосун карайлы. Ал үчүн китептеги 45-сүрөттүн экинчисине тиешелүү тамгаларды коюу керек. Сүрөт боюнча маселеге жооп берүү мүмкүн. Маселенин б) суроосунда АОВ бурчу кең, тар, тик болушу мүмкүн. III4 аксиома боюнча, ОС шооласы ОА жана ОВ шоолаларынын арасында гана болушу керек. Демек, ОС шооласы ОВ шоола жаткан жарым тегиздикте жатат жана мындай ОС шоолалары чексиз көп.

32-маселе транспортирди колдонууну машыктырууга берилген.

Маселелердин 1-син класстан иштетип, калгандарын үйгө көрсөтмө берүү менен сунуштоо керек (мисалы, 61°30'-2 көбөйтүүнү аткарууда 61°30' бурчу удаалаш эки жолу ченелип коюлат).

33- жана 34-маселелерди үйдөн чыгарууга сунуштап: 1°=60'; тик бурч 90° болгондуктан мисалы 30° бурч анын бөлүгүн түзөт деген сыяктуу көрсөтмөлөрдү кошо берүүгө болот. 36-маселени оозеки чыгартуу керек.

37-маселенин 3-нө токтололу. Жандаш бурчтардын бири, экинчисинен 3 эсе чоң, демек, 180° = x +3x, 180° = 4x, х = 45°.

Жообу: 45° жана 135°.

Айрым көнүгүүлөрдү иштөөдө изделүүчү чоңдукту х аркылуу белгилеп алуу оңтойлуу.

О

38-маселенин берилишин тактап иштөөнү жакшы окуган логикалык ойлоо жөндөмү жогору болгон окуучуга сунуш этүү керек. а) Суммасы 70° болгон кандай бурчтар деп суроо коюлат. Эки түз сызыктын кесилишинде вертикалдык жана жандаш бурчтар пайда болгондуктан, алардын кайсынысы жөнүндө сөз болуп жатканына түшүндүрмө берүү керек. Демек, алар вертикалдык бурчтар, анда 70°:2=35° тан болгон бурчтар. Ал эми б), в) суроолордо жандаш бурчтарды 37-маселедеги ыкма менен эсептөөгө болот. б) учурундагы бурчтарды х жана Зх, в) учурундагы бурчтарды х жана х+35° деп белгилөө сыяктуу көрсөтмө берген дурус.

39-маселени мүмкүн болушунча тиешелүү бурчтун сүрөтү боюнча тактап иштетүү керек.

40-маселеде изделүүчү бурчтарды х жана 4х деп белгилеп, маселенин шартындагы АСВ жайылган бурч болгондуктан изделүүчү бурчтар 180°=х+4х барабардыгы аркылуу эсептелет.

41-маселеге китепте көрсөтмө берилген.

42-маселе китептеги сүрөт боюнча оңой иштелет.

43-, 44-, 45-маселелер өз алдынча иштөөгө сунуш кылынат. 43-маселеде алды менен АЕ түз сызыгы жүргүзүлөт, андан О чекити белгиленет. АО жана ОЕ шоолалары алынды, АОВ=х дейли, андан улам кийинки бурчту маселенин шарты боюнча ВОС=х+10°, СОD = х + 20°, DОЕ=30° деп алуу жетиштүү. Тиешелүү эсептөөлердөн кийин х =30° алынат. Бурчтарды эсептеп алгандан кийин транспортирдин жардамы менен В, С,D чекиттерди таап, аларды О чекити менен туташтырып коюу керек.

44-маселенин татаалдыгы сүрөтүндө, б.а. берилген бурчка жандаш бурчтарды китептеги 41-сүрөт боюнча карасак, анда берилген 2 * чоңдук вертикалдык бурчтардын суммасы болгондуктан, изделүүчү бурчту x + барабардыгынан эсептөөгө болот.

IIглава. ПАРАЛЛЕЛЬ ТҮЗ СЫЗЫКТАР

(10—12 саат)

А. Ушуга чейин колдонулуп келген окуу китептеринде түз сызыктардын өз ара жайланышы жөнүндөгү түшүнүк «Үч бурчтуктардын ички бурчтары» деген темада каралган. Параллелдүүлүктүн, перпендикулярдуулуктун айрым касиеттери маселе катары берилген эле. Ал эми бул түшүнүктөр планиметрияда да жана стереометрияда да каралуучу фигуралар үчүн өтө маанилүү болоору белгилүү. Демек, ушул главаны толук, сезимтал өздөштүрүүнүн натыйжасы кийинки главалардан көрүнөөрү түшүнүктүү.

Главада 11 теорема каралат. Демек, окуучулардын эске сактоо жөндөмүн өнүктүрүү максатында методикалык ыкма катары аң сезимдүүлүк принциби менен бирдикте көрсөтмөлүүлүк, салыштыруу, тажрыйба методдорун колдонуу зарыл. Түз сызыктардын жана тегиздиктердин өз ара жайланыштары планиметрияда, ошондой эле стереометрияда фигуралардын касиеттерин окуп үйрөнүүнүн негизин түзө тургандыгы белгилүү. Главадагы түшүнүктөрдүн мааниси конструктивдүү мүнөздө болуп, түшүндүрүүдө окуучулардын туюп билүү жана турмуштук тажрыйбалары кеңири колдонулууга тийиш. Глава: параллель түз сызыктардын аныктамасы; параллель түз сызыктарды түзүү;

параллелдүүлүктүн аксиомасы; параллелдүүлүктүн касиеттери;

параллелдүүлүктүн белгиси; түз сызыктардын перпендикулярдуулугу;

маселе чыгаруу; дагы башка бир топ түшүнүктөрдү камтыйт. Главадагы материалды окуп өздөштүрүүгө 10—12 саат сабак өткөрүүнү сунуш кылууга болот.

§ 5. Параллель түз сызыктардын аныкталышы (1 саат)

В. Бул темада түз сызыктардын өз ара жайланышынын эки абалы (кесилиши жана параллелдиги) каралат. Түз сызыктардын дал келген учурун эске салып коюу ашыкча эмес. Сабакта параллелдик аксиомасы берилет. 4-теореманын далилдениши аксиоманын жардамы менен жеңил жүргүзүлөөрү көрүнүп турат.

Параграфтагы берилген маселелердин 1-, 2-, 4-, 6-, 8-, 10-номерлерин класстан, 3-, 5-, 7-, 9-, 11-номерлерин үйдөн иштөөгө сунуш этүүгө болот.

II главага карата берилген маселелерден 1- менен 2-маселелерди жана 6-, 7-, 8-, 9-теоремаларды китептен окуп алардын сүрөттөрүн өзүнчө баракка сызып, далилдөөлөрүн жүргүзүү талап кылынат.

Ошентип, класста: 1-, 3-, 4-маселелер жалпы окуучулар менен, 2-маселе оозеки, 6-маселе өз алдынча иштетилип 5-, 7-, 8-, 9-маселелер үйгө тапшырма катары сунуш этилсе болот.

Кайталоодо берилген суроолордон 1-, 2-, 3-лордүн жооптору талап этилет.

Китеп менен иштөө: (42-беттен көрсөтүп берилет) 59-сүрөттү түшүнүү. 60-сүрөт боюнча а||b ны түзгөндү үйрөнүү. V аксиоманы сезимтал жаттоо (сүрөтүн кара); 4-теореманын далилдөөсү: «тескерисинче» деген сөздөн башталган абзацты түшүнүп окуу керек.

С. 1-маселенин чыгарылышын конструктивдүү түрдө берели: аны жалпы класс менен иштөөнү сунуш кылууга болот. Ал үчүн 3-4 түрлүү паста керек. Окуучуларга көрсөтмө: дептерлерге l түз сызыгын кара паста менен доскадагыдай сызгыла, а) аны кесип өткөн а жана b түз сызыктарын көк түстө сызгыла.

б) l ге параллель болгон с түз сызыгын кызыл паста менен сыздыруу керек. № 2 оозеки иштеле турган маселе. 3-маселеде (түзөтүү: FМ эмес ЕМ) көрсөтүлгөн параллель кесиндилерди жана шоолаларды жазуу керек. АВ||СD, АВ||ЕD, ОN||ЕМ, ОF||ЕМ, андан соң 59-сүрөттүн түшүндүрмөсүн белгилүү деп алып, маселенин суроосуна жооп берүү керек.

4-маселе. Теориялык маселе экендиги белгилүү. а||с, b||с мындан а||b болоорун далилдөө талап кылынат.

Далилдөө: с түз сызыгына бир кыры дал келгендей кылып сызгычты коюп анын экинчи кыры аркылуу а түз сызыгын сызалы.

Анда маселенин шарты боюнча а||с ны алабыз, b||с ны түзүү үчүн сызгычты с түз сызыгынын экинчи жагына коюп b ны сызабыз. Түзүүдөн көрүнүп тургандай а||b болот. Маселе далилденди.

Мугалим ушул сыяктуу маселелерге атайын токтолуп, өзгөчө маани берип туруусу зарыл. Ал үчүн айлана-чөйрөдөн бышыктоочу мисалдарды келтирүүгө болот. Мисалы, каралып жаткан маселени далилдегенден кийин кубдун, параллелопипеддин параллель кырларын атап көрсөтүүгө болот.

5-, 7-, 8-, 9-маселелерге оозеки түшүндүрмө берилип үйдөн иштелет.

6-маселеде 4-теорема (43-бет) колдонулат.

6-маселе 4-маселенин негизинде класста өз алдынча иштетилет.

§ 6. Түз сызыктардын параллелдик белгилери

Бул теманы окуп үйрөнүүнү болжолдуу түрдө эки сабакка бөлүүгө болот.

А. Теманын өзгөчөлүгү: «Геометрия 7—11» (А. В. Погорелов) окуу китебиндеги эки теорема менен берилген параллелдик белгини, жаңы окуу китебинин авторлору кеңири баяндап түшүнүктүү, кыска айтылган эки түз жана эки тескери теорема менен беришкен.

В. Теманы түшүндүрүүдө ашыкча ой жүгүртүүнү болтурбаш үчүн китептеги 63-сүрөттүн «ички» жана «тышкы» бөлүктөрүнө керектүү маалыматтар жазылган плакатты пайдалануу керек. Тегиздик а жана b түз сызыктарына карата ички жана тышкы бөлүктөргө бөлүнөөрүн көрсөтмөлүү берүү зарыл.

Түшүндүрүү процессинде эле (*) таблица досканын бурчуна рамкага алынып жазылууга тийиш. 63-сүрөт боюнча рамдагы ички, тышкы, ички бир жактуу, тышкы бир жактуу, туура келүүчү бурчтарды бышыктап алып, 5-теореманы §5теги 4-маселени эске салып далилдөө керек. Теорема тескерисинче далилденет.

*-таблица

Ички кайчылаш бурчтар 2 менен 6 же 1 менен 5

Тышкы кайчылаш бурчтар 3 менен 7 же 4 менен 8

Ички бир жактуу бурчтар 1 менен 2 же 5 менен 6

Тышкы бир жактуу бурчтар 3менен 8 же 4 менен 7

Туура келүүчү бурчтар 1 менен З же 6 менен 4 же 2 менен 8 же 5 менен 7

6-теоремада түз сызыктардын параллелдүүлүгүнүн биринчи белгиси мүнөздөлөт. Бул теореманы далилдөөдө колдонула турган түшүнүк: 180° ка буруу жана I2 аксиома. Бурууну иреттүү аткаруунун негизинде пайда болуучу карама-каршылыктын келип чыгышы менен теорема далилденет.

7-теоремада параллелдүүлүктүн экинчи белгиси камтылган.